2023卷临天下 全国100所名校单元测试示范卷·数学[23新教材·DY·数学-RA-必修第一册-N](六)6答案

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12.D【解析】以E为原点，EF,ER,EA分别为x,y,之轴建立直角坐标系BR利用特殊值法求解，点O与A重合时，不妨设正方体的棱长为1，则P(1,号0），Q(2,00),R(0,1,0),O(0,0,1).设平面OPQ的一个法向量为n1=(x,y,z),由m…0à=(xy）…(20,-1）=受-=0m·P0-(）(-2,-日0）=-月y=0y=3x2得,令x=2,得n1=(2,一3,1).同理可得之=2平面OPR和平面OQR的法向量分别为n2=(2,3,3),n3=(6,3,3).结合图形可得：c0sa=cos(n1,n3）平面OPR和平面OQR的法向量分别为n2=(2,3,3),n3=(6,3,3).结合图形可得：cosa=cos(n1,n3)》1osaw=7ios7Koa a>B.故选D.

20.解：(1)由题可得OP⊥平面ACD,∴.OP⊥CD,又四边形ABCD为矩形，∴.CD⊥AD,又PO∩AD=O,.CD⊥平面APD,又.APC平面APD,.AP⊥CD(4分)(2)以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，易知C(1W3,0),设P点坐标为(0，y,)(y>0,之>0)，设P点坐标为(0，y,z)(y>0,之>0)，由AP=1,PC=√3，(5分)y2+z2=1得1+(W3-y)2+x2=3解得9=，即P点坐标为(o,5)(7分)设平面APC的一个法向量n1=(x,y,之)，m1·AC=0所以m·A市=0x十√3y=0即+20令y=1,得m=(-51,-)(9分)又n2=(0,0,1)是平面ACD的一个法向量，co=-号(11分).二面角P一AC一D为锐二面角，二面角P-AC-D的余弦值为子，(12分)