2023·卷行天下·月考卷·数学[23新教材·YK·数学-BSD-选择性必修第一册-Y](四)4答案

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22.解：(1)设M(x,y),由-得2+y(x-3)2+y2化简得x2+y2+2x-3=0,即(x+1)2+y2=4.故曲线C是以D(一1,0)为圆心，半径为2的圆.(4分)(2)法一：（由两圆相交弦方程求切点弦方程）：由题意知，PQ、PR与圆相切，Q、R为切点，则DQ⊥PQ,DR⊥PR,则D、R、P、Q四点共圆，Q、R在以DP为直径的圆上（如图).32自大是，设D(-1,0),又P(3,p)(≠0)，则DP的中点为(1，)，|DP=√A6+.用或限2件面3人△出以线段DP为直径的圆的方程为(x-1)2+(y)(时)，整理得x2+y2一2x-py-3=0,①(也可用圆的直径式方程(x+1)(x一3)+(y一0)(y一)=0化简得)又Q、R在C:x2+y2+2x-3=0②上，由两圆方程作差即②一①得：4x十py=0.所以切点弦QR所在直线的方程为4x十py=0.(6分)法二：（求Q、R均满足的同一直线方程即切点弦方程)设D(-1,0),Q(x1,y),R(x2,y2).由DQ⊥PQ,可得Q处的切线上任一点T(x,y)满足QT.D=0(如图)，合不(0,0)0yD,除不3点顿中即切线PQ方程为(x一)(x1+1)+(y-y)(0)=0.整理得(x1十1)x十y1y一x--x1=0.又x7+y+2x1-3=0,整理得(x1十1)x十y1y十x1一3=0.同理，可得R处的切线PR方程为(x2十1)x十y2yx2-3=0.又P(3,p)既在切线PQ上，O府A又在切线PR上，=3(x1+1)+py+x1-3=0所以3(x2+1)+py+x2-3=04x1+py=0整理得D离的(4红+p业=0自性0，)6圆又显然，Q(x1,少)，R(x2,y2)的坐标都满足直线4x十py=0的方程.而两点确定一条直线，所以切点弦QR所在直线的方程为4x十py=0.(6分)则QR恒过坐标原点O(0,0).[4x+y=0,由(x+1)2+y2=4消去x并整理得(16+p2)y2-8py一48=0.设Q(x1y),R(x2,y),8p则十%=16+p点N纵坐标yN=当十业=，42216+p2因为≠0，显然yN≠0，，位0=1·03×(-)+4×0-6所以点N与点D(一1,0)，O(0,0)均不重合.√32+4o.(或者由对称性可知，QR的中点N点在x轴上当且设△NEF的边EF上的高为h,仅当点P在x轴上，因为p≠0，点P不在x轴上，则点N到直线3x+4y=6的距离h的最小值为d一则点N也不在x轴上，所以点N与D、O均不重合.)点N到直线3x十4y=6的距离h的最大值为d十r因为N为弦QR的中点，且D(一1,0)为圆心，由圆的性质，可得DN⊥QR,即DN⊥ON(如图).是+之=2，（如图）.040(10分)所以点N在以OD为直径的圆上，圆心为G(-,0),半径r=号.(8分)则5的最小值S=号×号×1=；，最大值S因为直线3x+4y=6分别与x轴、y轴交于点E、F,=×号×2=所以E(2,0,F(O,2),EF=号因此△NEF的面积S的取值范围是[子，受]，又圆心G(-合，0)到直线3x+4y-6=0的距离d(12分)

15.4√2【解析】将圆C的方程整理为(x一2)2+(y1)2=4,则圆心C(2,1),半径r=2;将直线L的方程整理为y=k(x一1)十2，则直线l恒过定点(1,2)，且(1,2)在圆C内；最长弦MN为过(1,2)的圆的直径，则|MN=4;最短弦PQ为过(1,2)，且与最长弦MN垂直的弦，：kw=名号-1o=1,直线PQ方程为y-2=x一1，即x-y+1=0,.圆心C到直线PQ的距离为d=2-1+1-√2，|PQ1√2=2√/2一d=2√/4-2=2√2，∴.四边形PMQW的面积S=号MN·PQ=号×4X22=4v厄.