2023卷临天下 全国100所名校单元测试示范卷·数学[23新教材老高考·DY·数学-RA-选择性必修第一册-Y](七)7答案

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21.本小湛满分12分)(1)证明：.E,F分别是PA,PD中点，F∥AD,又ADIBC,:EF M BC,又.EF丈平面PBC,BCC平面PBC,:EF∥平面PBC,4*2分又.EFc平面心，平面心∩平面PBC=GH,.EF∥GH,*a3分GH∥BC.4分(2).PD⊥平面ABCD,AD,CDc平面ABCD,AD⊥PD,CD⊥PD,:.∠ADC为二面角A-PD-C的平面角，即m∠ADC=120°，5分取BC中点O,连接OD,以D为原点，DA所在直线为x轴，DO所在直线为y轴，DP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，则E(1,0,1),F(0.0,1),P(0,0,2),B(1,√3,0)，设点G坐标为(c,八，z),PG=tPB,1∈0，].(x,y,z-2)=t(1,V3,-2),x=1∴{y=V3t2=2-21.Gt,V31,2-2),…6分设平面PBD的法向量为n=(x,y,z,)，则DP.=02z1=0DB.n=0“x+V=0'令=5则4=-1.，=0，.n=(3,-1,0)…7分(另：可证AC⊥面PBD,AC为平面PBD的法向量)设平面EFG的法向量为m=(x2,y222),EF=(-1,0,0),FG=(化，V31,1-21),EF.m=0,「-x2=0F元.m=0’“x,+VB,+1-23,=0'令y=21-1,则：，=3，=0，∴.m=(0,2t-1,V3)…9分设二面角E-FG-P的平面角为O,:二面角E-FG-P的正弦值为国4.sin0=v13…10分4|2t-112t-1cos9Hcos

17.(本小题满分10分)解：(1)证明：由题意可得sin∠ADB=sinπ-∠BDC)=sin∠BDC,…(1分)因为BD为∠ABC的角平分线，则∠ABD=∠CBD,ADAB在△ABD中，则ADsin∠ABD…(3分)sin∠IBD sin∠ADBABsin∠ADBCD sin∠CBD同理可得…(4分)CBsin∠BDCAD CDAD因此故…(5分)ABCBDCa(2)设∠ABD=∠CBD=B,则∠ABC=20,(6分)因为SA5C=SABD+SCBD,即11acsin20cBDsin+aBDsin.…(7分)因为0<20 0,cos0>01π即sin29=sin9,可得cos0=。,B=(8分)23所以，sin20=V(9分)2159W5×3×6×…(10分)222